triple pytaghoras

TRIPEL Pythagoras adalah tripel bilangan bulat positif a, b, dan c yang memenuhi persamaan a2 + b2 = c2. Contoh tripel Pythagoras yang paling sederhana adalah 3, 4, dan 5, atau 5, 12, dan 13, sebagaimana sering dibahas di SLTP.Pythagoras adalah seorang filsuf dan matematikawan Yunani kuno yang lahir sekitar tahun 580 SM.

Contohnya:
3,4,5
5,12,13
7,24,25
8,15,17
11,60,61
20,21,69

Jadi, semua sisi pada segitiga siku-siku yang nilainya bulat, pasti kelipatan dari salah satu triple di atas.

Tripel Pytagoras
Tiga buah bilangan a, b dan c dimana a, b dan ? bilagan asli dan c merupakan bilangan terbesar, dikatakan merupakan tripel Pythagoras jika ketiga bilangan tersebut memenuhi hubungan :
c2 = a2+b2 atau
b2 = c2-a2 atau
a2 = c2-b2

CONTOH :
Manakah diantara tigaan berikut yang merupakan tripel Pythagoras ?
a. 9, 12, 15
b. 13, 14, 15
c. 5, 12, 13
PENYELESAIAN
a. Angka terbesar 15, maka c = 15, a = 12 dan b = 9

152 = 122 + 92
225 = 144 + 81
225 = 225
Jadi 9, 12, 15 merupakan tripel pythagoras

b. Angka terbesar 15, maka c = 15, a = 13 dan b = 14

152 ¹ 132 + 142
225 ¹ 169 + 196
225 ¹ 365
Jadi 13, 14, 15 merupakan bukan tripel pythagoras

c. Angka terbesar 13, maka c = 13, a = 12 dan b= 5

132 = 122 + 52
169 = 144 +25
169 = 169
Jadi 5, 12, 13 merupakan tripel pythagoras

Jenis Segitiga
Hubungan nilai c2 dengan ( a2 + b2 ) dapat digunakan untuk menentukan jenis segitiga. Jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan :
c2 > a2 + b2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul
c2 = a2 + b2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku
c2 < a2 + b2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip CONTOH : Tentukanlah jenis segitiga berikut ( lancip, siku-siku, atau tumpul ), jika sisi-sisinya : a. 6, 8, 10 b. 0,2 ; 0,3 ; 0,4 c. 11, 12, 14 PENYELESAIAN : a. Untuk sisi segitiga 6, 8, 10 102 = 62 + 82 100 = 36 + 64 100 = 100 Jenis segitiga adalah segitiga siku-siku b. Untuk sisi segitiga 0,2 ; 0,3 ; 0,4 0,42 > 0,22 + 0,32
0,16 > 0,04 + 0,09
0,16 > 0,13

Jenis segitiga adalah segitiga tumpul

c. Untuk sisi segitiga 11, 12, 14

142 < 112 + 122 196 < 121 + 144 196 < 265 Jenis segitiga adalah segitiga lancip Segitiga Segitiga atau segi tiga adalah nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Matematikawan Euclid yang hidup sekitar tahun 300 SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga adalah 180 derajat. Hal ini memungkinkan kita menghitung besarnya salah satu sudut bila dua sudut lainnya sudah diketahui. • Klasifikasi segitiga Menurut panjang sisinya: • Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Sebagai akibatnya semua sudutnya juga sama besar, yaitu 60o. • Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua dari tiga sisinya sama panjang. Segitiga ini memiliki dua sudut yang sama besar. • Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya. Besar semua sudutnya juga berbeda. Segitiga sama sisi Segitiga sama kaki Segitiga sembarang Menurut besar sudut terbesarnya: • Segitiga siku-siku adalah segitiga yang besar sudut besarnya sama dengan 90o. Sisi di depan sudut 90o disebut hipotenusa atau sisi miring. • Segitiga lancip adalah segitiga yang besar sudut besarnya < 90o • Segitiga tumpul adalah segitiga yang besar sudut besarnya > 90o

Segitiga siku-siku Segitiga tumpul Segitiga lancip
Lingkaran dalam dan luar segitiga
Suatu lingkaran yang berada di dalam segitiga serta menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut disebut lingkaran dalam segitiga. Jari-jari lingkaran dalam segitiga bisa dicari dengan rumus:
dimana r adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga, L adalah luas segitiga dan s adalah setengah keliling segitiga.
Suatu lingkaran yang berada di luar segitiga serta keliling lingkaran tersebut menyinggung perpotongan tiga garis segitiga disebut lingkaran luar segitiga. Jari-jari lingkaran luar segitiga dapat dicari dengan rumus:
dimana R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga; a, b dan c adalah tiga sisi segitiga dan L adalah luas segitiga.
Mencari luas dan keliling segitiga
•
•
Teorema Heron
________________________________________
Teorema Heron biasanya digunakan untuk mencari luas dari suatu segitiga sembarang. a, b dan c adalah ketiga sisi segitiga.
•
•
Segitiga sama sisi
________________________________________
Untuk mencari luas dan keliling segitiga sama sisi yang bersisi a dapat digunakan rumus sebagai berikut:
•
•
Dalil Pythagoras


Segitiga siku-siku
Dalil Pythagoras hanya berlaku pada segitiga siku-siku. Pythagoras menyatakan bahwa:
Jika ada tiga buah bilangan a, b dan c yang memenuhi persamaan di atas, maka ketiga bilangan tersebut disebut sebagai Triple Pythagoras. Triple Pythagoras tersebut dapat dibangun menggunakan rumus berikut dengan memasukkan sebuah nilai n dengan n adalah bilangan bulat positif.









Tripel Pythagoras
TRIPEL Pythagoras adalah tripel bilangan bulat positif a, b, dan c yang memenuhi persamaan a2 + b2 = c2. Contoh tripel Pythagoras yang paling sederhana adalah 3, 4, dan 5, atau 5, 12, dan 13, sebagaimana sering dibahas di SLTP.Pythagoras adalah seorang filsuf dan matematikawan Yunani kuno yang lahir sekitar tahun 580 SM.
Nama tripel Pythagoras diberikan karena Pythagoras, atau setidaknya para muridnya, diyakini sebagai orang yang pertama kali membuktikan bahwa persamaan a2 + b2 = c2 sesungguhnya berlaku secara umum pada sembarang segitiga siku-siku dengan sisi-sisi tegak a dan b dan sisi miring c (di sini a, b, dan c tidak harus merupakan bilangan bulat, tetapi sembarang bilangan real positif). Dalil ini pun kemudian dikenal sebagai Dalil Pythagoras.Namun, sesungguhnya, tripel Pythagoras sudah dikenal oleh orang Babylonia sejak tahun 1600 SM. Pengetahuan tentang tripel Pythagoras diperlukan, misalnya, dalam tukar-menukar (barter) tanah pada zaman itu. Seseorang yang mempunyai sebidang tanah berukuran 50 x 50 meter persegi, misalnya, dapat menukarnya dengan dua bidang tanah berukuran 30 x 30 dan 40 x 40 meter persegi.
Pada zaman itu, orang Babylonia bahkan sudah tahu pula bagaimana menemukan tripel Pythagoras. Sebagai contoh, mereka tahu bahwa jika m ganjil, maka m, 1/2 (m2 - 1), dan 1/2 (m2 + 1) merupakan tripel Pythagoras; dan jika m genap, maka 2m, m2 - 1, dan m2 + 1 merupakan tripel Pythagoras.
Nah, menelusuri cara berpikir orang zaman dulu, tulisan ini akan membahas secara detail bagaimana menemukan tripel Pythagoras tersebut.
Pertama catat bahwa jika a, b, dan c merupakan tripel Pythagoras dan k sembarang bilangan bulat positif, maka ka, kb, dan kc juga merupakan tripel Pythagoras, karena (ka)2 + (kb)2 = k2 (a2 + b2) = k2c2 = (kc)2. Oleh karena itu, kita cukup mencari tripel Pythagoras dasar, yakni tripel bilangan bulat positif a, b, dan c, yang tidak mempunyai faktor sekutu selain 1 dan memenuhi persamaan a2 + b2 = c2. Sebagai contoh, 3, 4, dan 5 merupakan tripel Pythagoras dasar, sedangkan 6, 8, dan 10 bukan (karena tripel terakhir ini mempunyai faktor sekutu selain 1, yakni 2).
Untuk selanjutnya, asumsikan a, b, dan c merupakan tripel Pythagoras dasar. Kita sekarang akan mempelajari karakteristik atau sifat-sifat ketiga bilangan tersebut.
Sifat 1: a dan b tidak mungkin kedua-duanya genap.
Bukti: Jika a dan b genap, maka c juga akan genap. Dalam hal ini, a, b, dan c mempunyai faktor sekutu 2. Ini bertentangan dengan asumsi bahwa a, b, dan c tidak mempunyai faktor sekutu selain 1. (QED).
Sifat 2: a dan b tidak mungkin kedua-duanya ganjil.
Bukti: Jika a = 2m + 1 dan b = 2n + 1, maka a2 + b2 = 4(m2 + m + n2 + n) + 2, sehingga sisa hasil bagi a2 + b2 dengan 4 adalah 2. Sementara itu, sisa hasil bagi c2 dengan 4 adalah 0 atau 1. Jadi tidak mungkin a2 + b2 = c2. (QED).
Berdasarkan kedua pengamatan di atas, salah satu di antara a dan b mestilah genap dan yang lainnya mestilah ganjil. Dengan demikian, kita peroleh sifat berikut.
Sifat 3: c ganjil.
Bukti: Jika a genap dan b ganjil, maka a2 genap dan b2 ganjil. Karena itu c2 ganjil, dan sebagai akibatnya c juga ganjil. Demikian pula jika a ganjil dan b genap, maka c ganjil. (QED).
Untuk selanjutnya, asumsikan a genap, b ganjil, dan c ganjil. Dalam hal ini kita peroleh sifat berikut.
Sifat 4: a = 2mn, b = m2 - n2, dan c = m2 + n2, dengan m > n dan m dan n tidak mempunyai faktor sekutu selain 1.
Bukti: Tulis a2 = c2 - b2 = (c - b)(c + b). Berdasarkan asumsi di atas, kita tahu bahwa c - b dan c + b genap. Selanjutnya tinjau 1/2 (c - b) dan 1/2 (c + b). Akan kita tunjukkan bahwa faktor sekutu terbesar dari kedua bilangan ini adalah 1.
Untuk itu, andaikan 1/2 (c - b) dan 1/2 (c + b) mempunyai faktor sekutu k > 1. Dalam hal ini terdapat p dan q sedemikian sehingga c - b = 2kq dan c + b = 2kp. Dari sini kita peroleh c = k(p + q) dan b = k (p - q). Sementara itu, a2 = 4k2pq. Dengan demikian pq mestilah merupakan kuadrat sempurna, katakan pq = r2. Akibatnya, a = 2kr, dan karena itu a, b, dan c mempunyai faktor sekutu k > 1. Ini bertentangan dengan asumsi bahwa a, b, dan c tidak mempunyai faktor sekutu selain 1. Dengan demikian 1/2 (c - b) dan 1/2 (c + b) tidak mungkin mempunyai faktor sekutu selain 1.
Sekarang misalkan a = 2r (ingat: a genap). Maka, r2 = 1/2 (c - b) . 1/2 (c + b), sehingga mestilah 1/2 (c - b) dan 1/2 (c + b) merupakan kuadrat sempurna, katakan 1/2 (c - b) = n2 dan 1/2 (c + b) = m2, dengan m > n dan m dan n tidak mempunyai faktor sekutu selain 1. Dari sini kita peroleh c = m2 + n2, b = m2 - n2, dan a = 2mn. (QED)
Hasil terakhir mengatakan jika a, b, dan c merupakan tripel Pythagoras dasar, maka a, b, dan c mestilah memenuhi Sifat 4. Sebaliknya tidak berlaku: Jika a, b, dan c memenuhi Sifat 4, maka a, b, dan c hanya merupakan tripel Pythagoras, belum tentu merupakan tripel Pythagoras dasar. Sebagai contoh, untuk m = 3 dan n = 1, kita peroleh a = 6, b = 8, dan c = 10. Untuk memperoleh tripel Pythagoras dasar, kita harus membaginya dengan faktor sekutu terbesar.
Sifat 4 lebih dikenal sebagai Dalil Tripel Pythagoras. Berbeda dengan Dalil Pythagoras, dalil ini tidak berurusan dengan geometri (baca: segitiga siku-siku). Seperti kita lihat di atas, pembuktian dalil ini murni berdasarkan sifat-sifat bilangan bulat.
Berdasarkan penemuan arkeologi, sejarah mencatat bahwa-selain orang Babylonia-orang Mesir kuno pun sudah memiliki pengetahuan tentang bilangan dan geometri. Namun, orang Yunani kunolah yang mampu melihat kaitan yang erat di antara keduanya. Bahkan, dipelopori oleh Pythagoras, orang Yunani kuno pulalah yang memperkenalkan aksioma, postulat, dalil, teorema dan pembuktian, seperti yang kita kenal hingga sekarang ini dalam matematika.
Sedikit catatan tentang pembuktian. Salah satu cara pembuktian yang cukup sering dilakukan dalam matematika adalah pembuktian dengan kontradiksi, yang d kenal pula sebagai reductio ad absurdum. Cara ini digemari, misalnya, oleh Euclides sekitar tahun 300 SM. Prinsipnya sederhana saja: jika dengan menyangkal bahwa pernyataan P benar (yakni dengan mengandaikan bahwa P salah) ternyata muncul suatu kontradiksi, maka kita simpulkan bahwa P mestilah benar. Sebagai contoh, pembuktian Sifat 1 dan 2, serta sebagian dari Sifat 4, merupakan pembuktian dengan kontradiksi.
(Hendra Gunawan, dosen Matematika ITB).


triple Pythagoras memenuhi persamaan,

a² + b²

a² - b²

2ab

a dan b sebarang bilangan real positif dengan syarat a > b

misalkan untuk a = 7 dan b = 3

a² + b² = 58

a² - b² = 40

2ab = 42


cek lagi,

42² + 40² = 3364

58² = 3364

OK














Garis Tinggi
Garis Tinggi adalah garis yang tegak lurus dari salah satu titik sudut segitiga terhadap sisi yang di depannya.

Perhatikan segitiga ABC. Dari gambar di atas, CD merupakan garis tinggi dengan alasnya adalah garis AB. Namun, titik D tidak selalu berada pada garis AB. Bisa saja terletak pada perpanjangan AB, seperti pada segitiga tumpul (obtuse), seperti pada gambar di bawah
Di atas, diperlihatkan garis tinggi yang berasal dari sudut C. Jika ketiga garis tersebut ditarik dari ketiga sudut, maka ketiga garis tersebut akan berpotongan pada suatu titik (titik itu disebut ortocenter).
Dari gambar di atas, titik T adalah titik ortosenter. Titik ortocenter akan selalu berada di dalam segitiga apabila segitiga itu lancip (acute). Sebaliknya, akan berada di luar, apabila segitiga itu tumpul (obtuse). Kalau segitiga siku-siku (right triangle), tentunya ortocenter akan berada di titik sudut siku-sikunya... Hmmm..
Panjang garis tinggi dapat dihitung dengan mengetahui Luas segitiga. Lalu, dengan memakai rumus Luas = 1/2.a. t, maka tentunya tinggi segitiga (t) bisa diketahui dengan mudah. Cara lain bisa dengan mengetahui panjang proyeksinya terlebih dahulu, lalu menggunakan phytagoras untuk mendapatkan tingginya... (Lihat dalil Stewart)^^..

Contoh soal 1: Perhatikan segitiga ABC di bawah. Diketahui AB=20 cm. BC = 24 cm. AD = 16 cm. Htunglah tinggi CE!
Jawab:
Luas segitiga dengan alas BC = Luas segitiga dengan alas AB

24.16 = 20.CE
CE = 19,2 cm.
Wah, mudahhh sekalleeee.... Wew... Memank sih mudah.. Namanya juga soal SMP.. =.="

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Garis Berat
Garis berat adalah garis yang terhubung dari titik sudut suatu segitiga ke titik tengah sisi yang berlawanan. Hal ini mengakibatkan daerah yang terbagi oleh garis berat menjadi sama luasnya. Lihat gambar di bawah.. Luas segitiga ACD akan sama dengan BCD karena panjang alas dan tingginya sama.
Ketiga garis berat akan berpotongan di satu titik, yang namanya centroid/center of gravity/titik pusat massa. Di titik inilah benda tersebut dapat setimbang.
Garis berat memiliki keistimewaan: garis berat-garis berat sebuah segitiga selalu saling berpotongan menurut perbandingan 2:1.
Lihat contoh gambar di atas. Maka, CT:TF = AT:TD = BT:ET = 2:1.
Panjang garis berat dapat dicari menggunakan dalil Stewart.
Ambil contoh gambar di atas, maka panjang CF dicari dengan cara berikut:



===>rumus panjang garis berat.

Contoh Soal 2:
Pada segitiga ABC, CD merupakan garis berat. AB=14 cm, BC =10 cm dan AC=6cm. Hitung panjang CD!

Jawab:



=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Garis Bagi Dalam Segitiga
Garis bagi dalam adalah garis yang melalui titik sudut segitiga dan membagi kedua sudut di sebelahnya sama besar. Garis ini terletak dalam segitiga.
Garis bagi juga memiliki keistimewaan. Lihat gambar di atas. : = b:a. Perbandingan ini selalu berlaku untuk garis bagi dalam. Selain itu, perbandingan : ( + ) = b: (b+a) juga berlaku.

Garis bagi dalam ini berpotongan di satu titik (namanya incenter), dan titik ini merupakan pusat dari lingkaran dalam segitiga (incircle). Lihat gambar di bawah. Jari-jarinya dapat dicari dengan menggunakan prinsip Luas segitiga = Luas 3 segitiga dalam.

Lalu, bagaimana cara kita tahu berapa panjang garis bagi segitiga?? Lihat gambar di bawah. Pertama, kita harus mencari panjang dan . Kemudian, gunakan dalil Stewart. Ulasan lengkapnya ada di bawah.

Perhatikan gambar di samping!
CD = disebut garis bagi dalam C.
ACD = DCB.
Berlaku:


Karena + = c, maka:
===>

===>

Dengan menggunakan dalil Stewart, maka didapat:

Contoh Soal 3:
Pada suatu segitiga ABC, diketahui a=6cm, b=12 cm, dan c=4 cm. Hitunglah panjang garis bagi dalam titik C(CD)!

Jawab:
===>
===>
===>

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Garis Bagi Luar Segitiga
Merupakan garis yang berasal dari titik sudut segitiga yang membagi dua sudut yang sama antara suatu sisi segitiga dengan perpanjangan sisi yang lain. Garis ini terletak di luar segitiga.
Maka, perbandingan yang selalu terjadi ialah: : = b:a.
Panjang garis bagi luar segitiga dapat dihitung dengan cara berikut.
Anggap b>a, - = c, maka:
===>
===>

Maka, dengan menggunakan dalil Stewart, didapat:


=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Garis sumbu
Garis sumbu adalah garis yang melalui titik tengah suatu sisi segitiga dan tegak lurus terhadap sisi itu. Ketiga garis sumbu bertemu di satu titik yang dinamakan circumcenter. titik tersebut merupakan pusat lingkaran luar segitiga (circumcircle). Jari-jari lingkaran ini dapat dicari menggunakan prinsip kesebangunan segitiga.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=


b.
4x – y + 4 = 0
c.
4x – y + 10 = 0
d.
4x + y – 4 = 0
e.
4x + y – 15 = 0
Soal Ujian Nasional tahun 2006
3. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x – 4y –
4 = 0, serta menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative
adalah ….
a.
x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0
b.
x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0
c.
x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0
d.
x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0
e.
x² + y² – 2x – 2y + 4 = 0
Soal Ujian Nasional tahun 2006
4. Persamaan garis lingkaran yang berpusat di ( 1,4 ) dan
menyinggung garis 3x – 4y – 2 = 0 adalah ….
a.
x² + y² + 3x – 4y – 2 = 0
b.
x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0
c.
x² + y² + 2x + 8y – 8 = 0
d.
x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0
e.
x² + y² + 2x + 2y – 16 = 0
Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004
5. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25
yang tegak lurus garis 2y – x + 3 = 0 adalah….
a.
5
2
5
2
1+
−
=
x
y
b.
5
2
5
2
1
−
−
=
x
y
c.
5
5
2
−
=
x
y
d.
5
5
2+
−
=
x
y
e.
5
5
2+
=
x
y
Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004
6. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 4x + 2y – 20 = 0 di
titik P( 5,3 ) adalah ….
a.
3x – 4y + 27 = 0
b.
3x + 4y – 27 = 0
c.
3x + 4y – 7 = 0
d.
7x + 4y – 17 = 0
e.
7x + 4y – 7 = 0
Soal Ujian Nasional tahun 2005
7. Jarak antara titik pusat lingkaran x² + y² – 4x + 4 = 0 dari sumbu
y adalah ….
a.
3
b.
2 ½
c.
2
d.
1 ½
e.
1
Soal Ujian Nasional tahun 2004
8. Diketahui lingkaran 2x² + 2y² – 4x + 3py – 30 = 0 melalui titik ( –
2,1 ). Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari –
jarinya dua kali panjang jari – jari lingkaran tadi adalah ….
a.
x² + y² – 4x + 12y + 90 = 0
b.
x² + y² – 4x + 12y – 90 = 0
c.
x² + y² – 2x + 6y – 90 = 0
d.
x² + y² – 2x – 6y – 90 = 0
e.
x² + y² – 2x – 6y + 90 = 0
Soal Ujian Nasional tahun 2003
9. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 13 yang melalui
titik ( 3,–2 ) adalah ….
a.
3x – 2y = 13
b.
3x – 2y = –13
c.
2x – 3y = 13

d.
2x – 3y = –13
e.
3x + 2y = 13
Soal Ujian Nasional tahun 2002
10.
Salah satu persamaan garis singgung dari titik( 0,4 ) pada
lingkaran x² + y² = 4 adalah ….
a.
y= x+ 4
b.
y = 2x + 4
c.
y= –x +4
d.
y= –3 x+ 4
e.
y= –2 x+ 4
Soal Ujian Nasional tahun 2001
11.
Garis singgung lingkaran x² + y² = 25 di titik ( –3,4 ) menyinggung lingkaran dengan pusat ( 10,5 ) dan jari – jari r. Nilai r = ….
a.
3
b.
5
c.
7
d.
9
e.
11



A. Pengertian Garis Singgung Lingkaran
1. Sifat Garis Singgung Lingkaran
Gambar 7.1 di samping menunjukkan lingkaran yang berpusat di titik O dengan diameter AB. Garis g tegak lurus AB dan memotong lingkaran di dua titik. Jika g digeser terus menerus ke atas hingga menyentuh titik A maka akan diperoleh garis g' yang menyinggung lingkaran dan tegak lurus AB. Garis g' disebut garis singgung dan titik A disebut titik singgung. Uraian di atas menggambarkan definisi dari garis singgung lingkaran yaitu:

Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. Perhatikan Gambar 7.2 Gambar 7.2(a) memperlihatkan bahwa garis g menyinggung lingkaran di titik A. Garis g tegak lurus jari-jari OA. Dengan kata lain, hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran. Pada Gambar 7.2(b) , titik R terletak di luar lingkaran. Garis l melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik P, sehingga garis l tegak lurus jari-jari OP. Garis m melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik Q, sehingga garis m tegak lurus jari-jari OQ. Dengan demikian, dapat dibuat dua buah garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran.

2. Melukis Garis Singgung
Sebelum melukis garis singgung lingkaran, pastikan kamu telah memiliki jangka dan penggaris sebagai alat bantu. Perhatikan uraian berikut.
a. Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran
Sebelumnya telah dijelaskan bahwa garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. Oleh karena itu, melukis garis singgung lingkaran di titik singgung P sama saja dengan melukis garis yang tegak lurus terhadap jari-jari OP. Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik pada lingkaran berikut ini.

Ternyata, kita hanya dapat membuat satu buah garis singgung lingkaran di titik P. Hal ini membuktikan sifat garis singgung lingkaran pada bagian sebelumnya.
b. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran
Sekarang, kamu akan melukis garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran. Perhatikan langkah-langkah berikut dengan baik.


3. Panjang Garis Singgung Lingkaran
Setelah melukis garis singgung lingkaran, sekarang kamu akan menghitung panjang garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran. Perhatikan gambar berikut.


B. Garis Singgung Dua Lingkaran
Kamu tentu sudah sering melihat sepeda. Apabila kamu amati rantai roda sepeda, tampak bahwa rantai itu melilit dua roda bergerigi yang berbeda ukuran. Dua roda bergerigi tersebut dapat dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai sepeda sebagai garis singgung persekutuan lingkaran. Dengan demikian, garis singgung persekutuan dapat diartikan sebagai
garis yang tepat menyinggung dua lingkaran.
1. Kedudukan Dua lingkaran
Secara umum, kedudukan dua lingkaran dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis, yaitu dua lingkaran bersinggungan, berpotongan, dan saling lepas.
a. Dua Lingkaran Bersinggungan
Perhatikan Gambar 7.3

Gambar 7.3(a) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di dalam. Untuk kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutan luar, yaitu k dengan titik singgung A. Gambar 7.3(b) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di luar. Dalam kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutuan dalam, yaitu n dan dua garis singgung persekutuan luar, yaitu l dan m.
b. Dua Lingkaran Berpotongan
Dua lingkaran yang berpotongan seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 7.4 mempunyai dua garis singgung persekutuan luar, yaitu r dan s.

c. Dua Lingkaran Saling Lepas
Gambar 7.5 memperlihatkan dua lingkaran yang saling lepas atau terpisah. Dalam kedudukan seperti ini, dapat dibuat dua garis persekutuan luar, yaitu k dan l dan dua garis persekutuan dalam, yaitu m dan n.

2. Garis Singgung Persekutuan Luar
a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
Misalnya terdapat dua lingkaran saling lepas dengan pusat P dan Q serta jari-jari R dan r. Bagaimana cara melukis garis singgung persekutuan luar dari lingkaran P dan Q tersebut? Pelajarilah langkah-langkah berikut.





3. Garis Singgung Persekutuan Dalam
a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran berikut ini.



b. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam
Perhatikan gambar berikut ini.


4. Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang menghubungkan Dua Lingkaran
Pernahkah kamu mengganti rantai roda sepedamu? Bagaimana kamu menentukan agar panjang rantai yang diperlukan tidak terlalu panjang atau terlalu pendek? Jika kamu perhatikan, dua roda gigi sepeda biasa dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai yang melilitnya sebagai garis singgung persekutuan luar. Perhatikan gambar berikut ini.


C. Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga
Pada subbab terakhir ini, kamu akan mempelajari tentang lingkaran yang dikaitkan dengan segitiga, yaitu lingkaran luar dan lingkaran dalam suatu segitiga.
1. Lingkaran Luar Segitiga
a. Pengertian Lingkaran Luar Segitiga
Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.
Gambar di samping menunjukkan lingkaran luar ΔABC dengan pusat O. OA = O B = OC adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR adalah garis sumbu sisi-sisi segitiga.
b. Melukis Lingkaran Luar Segitiga
Telah disebutkan sebelumnya bahwa titik pusat lingkaran luar suatu segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisinya. Oleh karena itu, untuk dapat melukis lingkaran luar segitiga, kamu harus melukis dulu garis sumbu ketiga sisi segitiga tersebut.
Perhatikan langkah-langkah berikut.
1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya ΔPQR. Kemudian, lukis lah garis sumbu PQ.
2) Lukislah garis sumbu QR sehingga memotong garis sumbu PQ di titik O.
3) Hubungkan O dan Q.
4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari PQ dan berpusat di O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar ΔPQR.


2. Lingkaran Dalam Segitiga
a. Pengertian Lingkaran Dalam Segitiga
Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang berada di dalam segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga. Gambar berikut menunjukkan lingkaran dalam ΔABC dengan pusat O. Diketahui OP = OQ = OR adalah jari-jari lingkaran. Adapun AD, BE, dan EF adalah garis bagi sudut segitiga.

b. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga
Jika titik pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga tersebut maka hal pertama yang harus kamu lakukan adalah menentukan titik pusatnya. Kamu tentu masih ingat bagaimana cara melukis garis bagi sudut segitiga, bukan? Materi tersebut telah kalian pelajari di Kelas VII.
Agar lebih jelas, perhatikan langkah-langkah melukis lingkaran dalam
1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalkan ΔPQR. Kemudian, lukislah garis bagi P.
2) Lukislah garis bagi Q sehingga memotong garis bagi P di titik O.
3) Jari-jari diperoleh dengan cara menarik garis tegak lurus dari titik O ke salah satu sisi segitiga. Misalnya OA, tegak lurus PQ.
4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari OA dan berpusat di titik O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam ΔPQR.